О математеческой логике#

В математике и других науках мы постоянно рассуждаем.

Это процесс, когда мы из исходных мыслей формируем новые. Из новых, еще более новые и так далее, пока не придем к какому-то выводу.

Схематично процесс того, как мы думаем, можно изобразить так:

Схема человеческой логики

Рассуждать сложно. Мысли могут начать путаться, их можно неверно интерпретировать, они могут быть громоздкими. А может оказаться, что вы думаете как-то иначе, нестандартно. Ваша логика может быть совсем непохожа на логику других людей.

Короче, рассуждать в голове ненадежно.

Перечисленные выше проблемы нашего мыслительного аппарата (негибко, неоднозначно, некомпактно) отсутствуют в математических языках.

А что если создать математический язык, выражающий человеческую логику?

Оказывается, такой язык уже создан. Называется он — математическая логика.

Математическая логика выступает инструментом наших рассуждений. Она не дает нам ошибится.

Еще более понятно суть математической логики можно понять из следующей схемы:

Схема математической логики

По аналогии со схемой выше, здесь в нашей голове хранятся только концепты: мысли, догадки и гипотезы. Все остальное лежит в зоне математической логики, которую знаете вы и другие люди. Поэтому, ни у кого не возникнет проблем с пониманием и проверкой того, что вы нарассуждали.


Математичекую логику можно сравнить с верстаком в мастерской. У вас есть сырье: доски, фанера, гвозди и т.д. Сырье это исходные, известные факты. С помощью хорошо известных всем инструментов вроде молотка, отвертки, пилы, дрели вы начинаете что-то делать с сырьем. То есть, начинаете рассуждения.

Самое приятное, что вы и все, кто знаком с верстаком, точно знаете, что с сырьем делают конкретные инструменты:

  • С помощью пилы вы разделяете доску на две части
  • С помощью гвоздя и молотка вы соединяете что-то
  • С помощью дрели делаете отверстия

А раз мы точно знаем, что делают конкретные инструменты в каждом шаге работы на верстаке, то мы можем не беспокоится за корректность всего хода рассуждений.

Истинность высказываний#

Из статьи "Выражения" мы знаем, что все выражения языка можно поделить на слова и формулы. Формулы, в свою очередь, делятся на высказывания и высказывательные формы. Этими двумя понятиями мы и оперируем в математической логике.

Из самого слова "высказывание" следует, что мы высказываем что-то насчет чего-то:

  1. Красное яблоко — красное
  2. 5 + 3 = 22
  3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом

Все это примеры высказываний.

1 и 3 высказывания правдивы, или истинны. 2 высказывание ложно.

Из примеров выше, да и по смыслу слова "высказывание" очевидно, что все высказывания либо правдивы, либо ложны.

Этот факт очень удобен для математческой логики. Мы можем отбросить смысл высказываний, и оставить только их значения: правда или ложь. Дальше мы проводим рассуждения, основываясь только на значениях высказываний. Другими словами, на этапе рассуждений нас не волнует, про что эти высказывания (про кроликов, яблоки, числа или интегралы).

В итоге рассуждений мы получаем какое-то результирующее высказывание — вывод и его значение (правда/ложь). И тогда уже можно вновь подумать над его смыслом.

Важно

При проведении операций в математической логике мы не рассматриваем семантику (смысл) высказываний, а берем в расчет только их значение: истина или ложь.

Такое "освобождение от смысла" позволяет применять математическую логику вообще к любым высказываниям. Это очень удобно и делает язык математической логики гибким, как и подобает любому математическому языку.

Обозначения#

Высказывания будем обозначать буквами: $ p, q, r, s $

Высказывательные формы: $ p(x), q(x,y), r(x) $

Каждый раз писать что-то вроде "$ p = $ истинно" неудобно. Поэтому если высказывание истинно, то его значение — 1. Если оно ложно — 0.

Тогда можно писать так:

$$ p = 0 $$

Понимая под этим, что высказывание $p$ — ложно.

Про высказывательные формы#

С высказываниями все максимально просто. Оно либо правдиво, либо ложно. Но с высказывательными формами такой фокус не прокатывает.

Расмотрим следующую форму $ q(x) $:

$$ x + 5 = 10 $$

Правда это или ложь? Сказать нельзя. Ведь при $ x = 5 $ получаем истинное высказывание $ q(5) = 1 $. При всех остальных значениях $x$ получаем ложные высказывания.

В этом и секрет! Значения у высказывательной формы просто нет. Она не правдива и не ложна. Она никакая. Значение появляется, когда мы заменяем все переменные в этой форме на конкретные значения.

  • $q(x)$ — значения нет
  • $q(5)$ — правда
  • $q(6)$ — ложь