Эквивалентность#

В этой статье мы введем еще одну очень важную логическую операцию. Как будет видно, она является "развитием импликации".

Важно еще и то, что это будет последней, шестой рассмотренной в главе операцией. Существует еще много других операций, но этих 6 нам более чем достаточно для логических рассуждений в математике.

Житейский смысл#

Рассмотрим импликацию вида:

"Если ты хорошо подготовишься, то ты сдашь на отлично"

Как всегда, мы имеем два простых высказывания:

  • $p = $ "Ты хорошо подготовился"
  • $q = $ "Ты получил отлично"

Смысл этой импликации: "Из хорошей подготовки ($p = 1$) следует, что будет хорошая оценка ($q = 1$)".

Но есть и другой выход. Можно совешернно не готовиться ($p = 0$), но получить "отлично" ($q = 1$). Думаю, вы догадались, что это за выход — списать из шпаргалки.

Итак, из того, что мы хорошо подготовились, точно следует получение хорошей оценки.

Рассмотрим теперь обратное утверждение:

"Если ты сдал на отлично, то ты хорошо подговился"

Верна ли эта импликация?

Нет. Это может быть правдой, если ты действительно готовился, а может оказаться ложью, если ты все списал.

Итак, важный вывод: верность импликации $p\Rightarrow q$ вовсе еще не означает, что верна и обратная ей $q\Rightarrow p$.


Рассмотрим теперь такое высказывание:

"Если я опоздаю на самолет, то я полечу на следующем"

Оно состоит из двух высказываний:

  • $p = $ "Я опоздал на самолет"
  • $q = $ "Я полетел на следующем"

В этом высказывании мы используем конструкцию "если ..., то ...", а значит перед нами снова импликация $p\Rightarrow q$. В ее истинности можно не сомневаться. Если я опоздаю на этот самолет, то абсолютно точно полечу на следующем.

Но работает ли обратная импликация $q \Rightarrow p$?

"Если я полетел на следующем самолете, то я опоздал на предыдущий"

В этом случае, в отличие от предыдущего примера, обратная импликация тоже верна, потому что мы используем более жесткий вариант конструкции "если ..., то ...".

Эту жесткость можно даже усилить, записав исходное высказывание так:

"Я полечу на следующем самолете если, и только если опоздаю на этот"

Конструкция "$p$ если, и только если $q$" подчеркивает полную связь между двумя высказываниями $p$ и $q$, подчеркивает, что верны сразу оба высказывания:

  • "Если $p$, то $q$"
  • "Если $q$, то $p$"

Пример с экзаменом тоже можно ужесточить с использованием "если, и только если":

"Ты сдашь на отлично, если, и только если ты хорошо подготовишься"

Теперь отмаза вида "ты списал", ломающая обратную импликацию, больше не сработает. Нам не дает ее использовать дополнение "и только если", которое напрямую связывает хороший отлиный результат на экзамене с хорошей подготовкой.

Определение#

Итак, из житейских примеров выше ясно, что под высказыванием "$p$, если, и только если $q$" мы понимаем истинность прямой и обратной импликаций:

"Если $p$, то $q$" и "Если $q$, то $p$".

Запишем это высказывание на языке математической логики с использованием уже введенных логических операций ("если, то" — импликация, "и" — конъюнкция) для любых значений $p$ и $q$:

$$ (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) $$

С помощью этой формулы мы можем построить таблицу истинности конструкции "если, и только если":

Cначала построим две колонки для $p\Rightarrow q$ и $q\Rightarrow p$:

$p$ $q$ $p\Rightarrow q$ $q\Rightarrow p$
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1

Теперь берем значения из 3 и 4 колонок каждой строки и записываем их конъюнкцию в финальную колонку:

$p$ $q$ $p\Rightarrow q$ $q\Rightarrow p$ $ (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) $
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1

Теперь можно убрать 3 и 4 колонки, так как они были нужны только для расчетов. Получаем таблицу истинности конструкции "если, и только если":

$p$ $q$ $ (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) $
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Мы выяснили смысл конструкции "если, и только если" и построили ее таблицу истинности. Из этой житейской конструкции образуем новую логическую операцию — эквивалентность.

Определение

Эквивалентность — логическая операция над двумя высказываниями $p$ и $q$, результат который истинный тогда и только тогда, когда оба $p$ и $q$ истинны, или оба ложны.

Обозначается эквивалентность двунаправленной стрелкой $\Leftrightarrow $:

$$ p \Leftrightarrow q $$

Таблица истинности эквивалентности:

$p$ $q$ $p\Leftrightarrow q$
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Применение эквивалентности#

Кванторы > Высказывательно-образующие операции (импликация и эквивалентность) > Общезнач. формулы