Импликация#

В предыдущей статье мы ввели логические операции, полученные из союзов русского языка и отрицания.

Сейчас мы подробно рассмотрим одну из самых важных и популярных логических операций.

Во время рассуждений, в частности в математических доказательствах, мы очень часто составляем сложные высказывания из более простых $p$ и $q$ с помощью конструкции вида:

  • Если $p$, то $q$

Вот еще несколько синонимов этой же конструкции:

  • Из $p$ следует $q$
  • $p$ влечет $q$
  • $q$ при условии, что $p$

Давайте выясним смысл и значение (правда/ложь) конструкции "если $p$ то $q$" (и ее синонимов) при разных значениях $p$ и $q$.

Смысл#

Мама обещает своему сыну Пете сводить его в кино, если он сделает уроки. Перефразируем:

"Если Петя сделает уроки, то он поедет в кино"

Это сложное высказывание состоит из двух более простых:

  • $p = $ Петя сделает уроки
  • $q = $ Петя поедет в кино

Теперь нам нужно понять, какие значения принимает высказывание вида "если $p$, то $q$" (правда/ложь) в зависимости от значений $p$ и $q$.

Пусть Петя сделал уроки ($p = 1$) и мама действительно сводила его в кино ($q = 1$). Все довольны и счастливы. Сложное высказывание "если $p$, то $q$" получается истинным. Он сделал уроки и съездил в кино.

Пусть Петя сделал уроки ($p = 1$), но мама не сводила его в кино ($q = 0$). Вот это кидалово! Петю жестоко обманули, а значит высказывание "если $p$, то $q$" оказалось ложным. Он сделал уроки, но ничего не получил.

Итак, мы выяснили, что в житейском смысле высказывания вида "если ..., то ..." истинны, когда оба составных истинны и ложны, когда истинно первое (если), но ложно второе (то).

Давайте запишем эти результаты в таблицу истинности:

$p$ $q$ Если $p$, то $q$
1 1 1
1 0 0

Видно, что таблица неполная. Остались еще две пары:

  • $p = 0$ и $q = 1$
  • $p = 0$ и $q = 0$

К сожалению, попытка найти значение "если ..., то ..." для этих пар в смысле "Пети и кино" приведет нас в тупик. Давайте убедимся.

Возьмем пару $p = 0$ и $q = 1$. Это означает, что Петя не сделал уроки, но все же мама сводила его в кино. Ну и чему в этом случае равно "если $p$, то $q$"? Или пара $p = 0$ и $q = 0$. Петя не сделал уроки и мама не сводила его в кино. И что же можно сказать про истинность "если $p$, то $q$"? Ничего...

Короче говоря, выяснить истинность "если ..., то ..." для этих пар сложно. Но ничего страшного! Никто не мешает нам привести другой пример:

"Если на улице прошел дождь ($p$), то на улице сыро ($q$)"

Я думаю, любой человек, хоть раз видевший дождь согласится, что это абсолютная правда.

Пусть на улице не было дождя ($p = 0$), но на ней все же сыро ($q = 1$), потому что проехала опрыскивающая машина. Нарушает ли истинность нашего высказывания "если ..., то ..." пара $p=0$ и $q=1$? Вовсе нет.

Пусть на улице не было дождя ($p = 0$) и на ней не сыро ($q = 0$). Логично? Вполне. Нарушает ли эта пара ($p = 0$ и $q = 0$) факт того, что если на улице был дождь, то она сырая? Нет, не нарушает. Это по прежнему абсолютно истинное высказывание.

Добавим в таблицу истинности высказывания "если ..., то ..." значения для недостающих двух пар:

$p$ $q$ Если $p$, то $q$
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Из этой таблицы четко видно, что истинность высказывания "если на улице прошел дождь, то на улице сыро" и других аналогичных нарушается только в одном случае — когда дождь действительно был ($p = 0$), но улица почему-то сухая ($p = 1$). Во всех остальных случаях высказывание остается правдивым.


Убедитесь, что вы полностью осмыслили весь текст этого раздела. Если что-то сложно понять — перечитайте снова. Поробуйте описать примеры своими словами. В крайнем случае, прочитайте раздел "Парадоксальность импликации".

Определение#

В предыдущем разделе мы хоть и с трудом, но разобрались с истинностью высказывания "Если ..., то ...". Пора вводить его аналог в язык математической логики.

Определение

Импликация — логическая операция над двумя высказываниями $p$ и $q$, результат который ложный только тогда, когда $p$ истинно, а $q$ ложно.

Обозначается импликация стрелкой $\Rightarrow $:

$$ p \Rightarrow q $$

По-научному $p$ называют посылкой, а $q$ — следствием.

Таблица истинности импликации:

$p$ $q$ $p\Rightarrow q$
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Парадоксальность импликации#

Последние две стоки таблицы истинности импликации очень часто вызывают недоумение.

Получается, что из ложной посылки ($p=0$) всегда следует истина, вне зависимости от значения $q$. Как же так?

А как же быть с следующими высказываниями?

  • "Если $2\cdot 2 =4$, то снег белый" ($p=1,\ q=1,\ p\Rightarrow q = 1$)
  • "Если $2\cdot 2=5$, то снег черный" ($p=0,\ q=0,\ p\Rightarrow q = 1$)

Второе так вообще полный бред!

"Проблема" заключается в том, что в самом начале изучения математематической логики мы договорились рассматривать высказывания и их значения как одно и то же. С этой точки зрения нет никакой разницы:

"$2\cdot 2 = 4$" равно "снег белый" равно $1$ (истина)

Мы устанавливаем истинность исходя из значений составных высказываний, а не исходя из их смысла.

Чтобы таких парадоксов не возникало, импликацию обычно применяют для высказываний, которые связаны по смыслу.