Необходимость и достаточность#

Два этих слова очень часто встречаются и применяются как в жизни, так и в математике.

Выясним их точный математический смысл, а также сферу применения.

И поможет нам в этом деле вот такое высказывание:

"Вы отлично сдали экзамен в ВУЗе"

В связке с ним будем рассматривать еще два:

  • "Вы — студент"
  • "Вы все списали"

Поехали!

Необходимость#

Если вы не студент, то и доступа к экзамену вас не будет. Поэтому, "быть студентом" необходимо для того, чтобы "отлично сдать экзамен". Другими словами:

"Если вы отлично сдали экзамен, то вы студент"

Мы только что сформулировали житейский смысл необходимого условия. Обобщим для любых высказываний:

Определение

Пусть есть истинная импликация $ p \Rightarrow q $. Тогда $q$ называют необходимым условием для $p$.

Импликация в этом определении не работает в обратную сторону. То есть, из того, что "вы — студент" вовсе не следует, что вы "отлично сдадите экзамен"!

Достаточность#

Если вы все списали, то вы точно сдадите экзамен на отлично. Поэтому, "вы все списали" достаточно для того, чтобы "отлично сдать экзамен". Снова имеем импликацию:

"Если вы все списали, то вы отлично сдали экзамен"

Мы установили житейский смысл достаточного условия. Введем теперь четкое определение:

Определение

Пусть есть истинная импликация $ p \Rightarrow q $. Тогда $p$ называют достаточным условием для $q$.

Как и в случае с необходимостью, не факет, что работает импликация в обратную сторону. То есть, из того, что "вы отлично сдали экзамен" не следует, что "вы все списали". Ведь вы могли честно готовится и изучать материал, а не списывать.

Примеры#

До этого момента мы пользовались житейским примером про экзамен, студентов и списывание. Сейчас приведем по одному математическому примеру для необходимого и достаточного условий.


"Стороны попарно параллельны" — необходимое условие для "четырехугольник — квадрат"

ИЛИ

"Если четырехугольник — квадрат, то его стороны попарно параллельны"

Почему? По определению необходимого условия можно составляем импликацию:

"Четырехугольник — квадрат $\Rightarrow$ его стороны попарно параллельны"

Эта импликация истинна для любых квадратов, так как стороны любого квадрата попарно параллельны.

Может быть "параллельность сторон" еще и достаточным условием?

По определению достаточного условия составляем импликацию:

"Стороны четырехугольника попарно параллельны $\Rightarrow$ это квадрат"

Это не так. Возьмем любой ромб. Его стороны тоже попарно параллельны. По импликации выше любой ромб он должен являться квадратом. Но не все ромбы — квадраты. Получается, что импликация для таких "неквадратных" ромбов ложна, а значит параллельность сторон не является достаточным условием.


$a = 0$ — достаточное условие для $a\cdot b = 0$

ИЛИ

$a = 0$ достаточно для того, чтобы $a\cdot b = 0$

Почему? По определению необходимого условия можно составляем импликацию:

$$ a = 0 \Rightarrow a\cdot b = 0 $$

Какое бы $b$ мы не выбрали, его произведение на $ a = 0$ дает $0$. Поэтому эта импликация верна всегда.

Может быть $a = 0$ еще и необходимым условием?

По определению необходимого условия составляем импликацию:

$$ a\cdot b = 0 \Rightarrow a = 0 $$

Возьмем $b=0$ и $a = 5$. При этих значениях импликация оказыватеся ложной

  • $a\cdot b = 0$ — истина, так как $b=0$
  • $a = 0$ — ложь, так как $a = 5$

По определению импликации, она ложна, когда из правды следует ложь. Именно это и показано выше.

Итак, как минимум при $b=0$ и $a=5$ импликация ложна, а это значит, что $a=0$ не является необходимым условием.

Применение#

$q$ — необходимое условие для $p$

Но то, что вы являетесь студентом вовсе не означает, что экзамен вы сдадите отлично!

Определение

Необходимое условие — логическая операция над двумя высказываниями $p$ и $q$, результат который ложный только тогда, когда $p$ истинно, а $q$ ложно.