Алфавит языка математики#

Алфавит и буквы#

В русском языке 33 основных знака, которые мы называем буквами. Очевидно, что 33 букв для описания всего на свете не хватает. Приходится комбинировать знаки друг с другом, получая новые знаки.

Например, комбинируя буквы "д" и "а" получаем "да". А из букв "м" и "а" можно составить "мама".

Суть: в любом языке есть набор исходных знаков, из которых составляются все остальные. Это набор называют алфавитом, а сами исходные знаки — буквами.

Определение

Алфавит — набор знаков, из которых образуются другие знаки.

Определение

Буква — знак, входящий в алфавит языка.

Алфавит математики#

Начнем опять издалека, с примера из естественного языка. В русском языке буквы делятся на гласные и согласные, в зависимости от того, как они звучат.

  • Гласные звучат мелодично, их можно тянуть
  • Согласные звучат шумно, воздушный поток из легких полностью или частично блокируется

Получается, мы делим буквы алфавита на категории: гласные (10 букв), согласные (21 буква). К этим двум категориям добавляют еще 2 знака ("ь" и "ъ").

Алфавит математики можно составить по тому же принципу — выделяя категории букв.

Цифры#

Во-первых, нам нужно обозначать числа. Для этого используем 10 букв, которые будем называть цифрами:

$$ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 $$

Важно

Никогда путайте цифры и числа! Цифры — буквы, с помощью мы которых мы записываем числа. Их всего 10 (от 0 до 9). Число — абстрактное обозначение количества. Практически во всех случаях в жизни речь идет именно о числах (то есть о количестве), а не о цифрах (о буквах).

Неправильно: "На Земле живет почти 7 500 000 000 человек! Это гигантская цифра!".
Правильно: "На Земле живет почти 7 500 000 000! Это гигантское число!".

По определенным правилам из комбинации цифр мы конструируем знаки, обозначающие числа. Именно знаки, а не сами числа! В русском языке мы из букв "м" и "а" мы составляем знак "мама", который обозначет мать. Мы не составляем из букв саму мать.

Переменные и постоянные#

Теперь нам нужен ряд букв, которыми мы будем обозначать переменные и постоянные. Для этих целей будем использовать малые буквы латинского алфавита:

$$ a, b, c, \ldots, x, y, z $$

Первые буквы латинского алфавита используют для постоянных, последние — для переменных. Также можно использовать любую из букв выше с каким-нибудь индексом:

$$ x_1, x_2, x_3, \ldots, x_i, x_n, \ldots $$

Операции и отношения#

Мы можем производить различные операции с числами: сложение, разность, произведение, деление.

$$ +, -, \cdot, \div $$

Но разность и деление можно вывести из сложения и произведения, поэтому в алфавит пойдут только знаки для сложения и произведения:

$$ +, \cdot $$

Для обозначения отношений "равно", "меньше", "больше" применяются следующие знаки:

$$ =, <, > $$

Отношение "больше" можно вывести из "равно" и "меньше", поэтому в алфавит добавляем только первые два знака:

$$ =, < $$

Скобки#

Скобки используются для расстановки приоритетов в больших выражениях. С помощью них мы понимание, какие действия выполнять первыми.

$$ (, ) $$

Алфавит#

Пора собрать вместе все 5 категорий:

  • Цифры (с помощью них конструируются имена чисел)
  • Буквы латинского алфавита (обозначения для переменных и постоянных)
  • Знаки операций (действия с числами)
  • Знаки отношений (отношения между числами)
  • Скобки (приоритет операций/отношений)

Все эти пять категорий вместе образуют базовый (элементарный) алфавит математики:

$$ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, \ldots, x, y, z, +, \cdot, =, <, (, ) $$

В различных разделах математики используются расширения этого алфавита. Например, в геометрии используются знаки, обозначающие параллельность \( \parallel \), подобие \( \sim \) и другие.