Выражения#

В прошлой статье мы составили базовый алфавит математики. Буквы и знаки алфавита можно комбинировать, получая слова.

Определение

Слово — конечная последовательность знаков алфавита.

Примеры слов:

$$ 2 + 2 = 4 \\ x2 = (9+) \\ a\cdot 4(\div $$

Как видно из последних двух примеров, слова не обязательно должны быть осмысленными. Случайный набор знаков тоже считается словом. Получается, что все слова языка математики можно поделить на бессмысленные и осмысленные. Слова, имеющие смысл будем называть выражениями.

Определение

Выражение — слово в языке математики, которое имеет смысл.

Отлично. Теперь у нас есть название для осмысленных слов (выражения). Но в математике очень много самых разных выражений:

$$ 13025 \\ 2 + 3 \\ x - 2 = 4 \\ (9 + x) \cdot y < z $$

Нужно построить классификацию выражений в математике.

Термы#

Начнем с выражений, которые не содержат знака отношения (\( = \) и \( < \)).

Во-первых, мы можем составлять числа из цифр:

\begin{align}\notag 7 && 89 && 1224 \end{align}

Во-вторых, можно записывать выражения с операциями, но без переменных/постоянных:

\begin{align}\notag 2 + 3 && (9 - 1) \cdot 5 && (7 - 2) \cdot (89 + 4) \end{align}

Наконец, существуют выражения и с операциями, и с переменными/постоянными:

\begin{align}\notag x - 4 && 8x + 2y - c && (a + b)\cdot(a - b) \end{align}

Вроде все. Больше никаких типов выражений с имеющимися буквами алфавита (без знаков отношений) придумать не получается. Назовем все такие выражения термами.

Попробуем составить правила, по которым можно конструировать термы:

Определение

1) Каждая отдельная цифра или буква латинского алфавита — терм. Такие термы называются элементарными.

2) Если \(T_1\) и \(T_2\) — термы, то \( (T_1 + T_2) \) и \( (T_1\cdot T_2) \) также термы.

3) Других термов, кроме тех, которые могут быть получены с помощью 1) или 2), нет.

Определение выше отличается от определений в предыдущих статьях.

  • Сначала мы задаем элементарные термы (цифры и буквы латинского алфавита)
  • Потом задаем правило, как из этих элементарных термов получить все остальные (через сложение и произведение)
  • В конце заявляем, что других термов, кроме элементарных и полученных по правилу, не существует

Такие определения называются индуктивными. Чем они удобны? А тем, что с их помощью можно взять любое слово в языке математике и выяснить, является ли оно термом или нет.

Пример:

$$ (((3+a) \cdot 2) + (3 \cdot x)) $$

  1. \(3\) — терм (пункт 1 определения)
  2. \(a\) — терм (п.1)
  3. \( (3+a) \) — терм (из 1,2 по п.2)
  4. \(2\) — терм (п.1)
  5. $ ((3+a)\cdot 2) $ — терм (из 3,4 по п.2)
  6. $ x $ — терм (по п.1)
  7. $ (3\cdot x) $ — терм (из 1,6 по п.2)
  8. $ (((3+a)\cdot 2) + (3\cdot x)) $ — терм (из 5,7 по п.2)

Разберем теперь вот это слово:

$$ a\cdot 4 (\div $$

  1. $ a $ — терм (п.1)
  2. $ 4(\div $ — не терм, потому что скобка и знак деления не входят в допустимые для элементраных термов буквы
  3. $ a\cdot 4 (\div $ — не терм, так как $ 4(\div $ — не терм, поэтому применить п.2 определения не выйдет

Упрощения#

Согласитесь, что запись термов выглядит немного загроможденной:

$$ (((3+a) \cdot 2) + (3 \cdot x)) $$

Такие выражения сложно воспринимать. Поэтому математики договорились и ввели ряд упрощений:

  • Не писать внешние скобки, если все остальные буквы терма находятся внутри них:

$$ ((3+a) \cdot 2) + (3 \cdot x) $$

  • Считать, что знак умножения приоритетнее, чем знак сложения. Поэтому скобки вокруг произведения можно опустить:

$$ (3+a) \cdot 2 + 3\cdot x $$

  • Не указывать знак умножения, кроме тех случаев, когда он не разделяет две цифры или два набора цифр. Можно упростить: $ 3\cdot x \rightarrow 3x $. Нельзя упростить: $ 9 \cdot 3 \rightarrow 93 $. $$ 2(3+a) + 3x $$

Сравним запись до и после упрощений:

$$ (((3+a) \cdot 2) + (3 \cdot x)) \\ 2(3+a) + 3x $$

Запись чисел#

Когда мы только разбирались с видами термов, мы использовали вот такой пример:

\begin{align*} 7 && 89 && 1224 \end{align*}

C $7$ все отлично — это элементарный терм. А вот $89$ и $1224$ термами по определению не являются. Это просто набор цифр. На самом деле, это еще одно упрощение.

Разберем число $89$. Его можно переписать так:

$$ 89 = 80 + 9 $$

$9$ — элементарный терм, но с $80$ все еще проблемы. Разложим $80$ на $8\cdot 10$.

$$ 89 = 8 \cdot 10 + 9 $$

Осталось только разобраться с $10$. Когда мы пишем $10$, мы понимаем под ним $1 + 9$.

  1. $8$ — терм (п.1)
  2. $10$ — "псевдоним" терма $1 + 9$
  3. $8\cdot 10$ — терм (из 1,2 по п.2)
  4. $9$ — терм (п.1)
  5. $8\cdot 10 + 9$ — терм (из 3,4 по п.2)

Также как $10$ пишут, чтобы не писать $9 + 1$, так и $89$ пишут, чтобы не писать $8\cdot 10 + 9$.

Ситуация с $1224$ аналогичная. Это число является краткой записью терма:

$$ 10\cdot 10\cdot 10 + 2\cdot 10 \cdot 10 + 2\cdot 10 + 4 $$

Имена#

Мы разобрались с термами. Но что они означают? Какова их семантика? Сначала рассмотрим термы, которые не содержат переменных. Разберем пример такого терма:

\begin{align*} 2 + 3 \end{align*}

Что это такое? Этот терм обозначает $5$ — результат сложения чисел $2$ и $3$. То есть термы без переменных представляют собой имена объектов (например, чисел).

Определение

Имя — терм, не содержащий переменных. Обозначает имена объектов.

Именные формы#

Разберем теперь термы с переменными. Пример:

\begin{align*} x - 2 && (x-2)\cdot y \end{align*}

Переменные в выражениях можно представлять в виде пустого места, в которое можно подставить любое значение из доспустимого набора.

\begin{align*} \square - 2 && (\square - 2) \cdot \bigcirc \end{align*}

"Подставить значение" на самом деле не совсем верно. Правильнее говорить, что вместо переменных мы подставляем имена значений. Например, вместо $x$ в примере выше можно подставить имя числа $5$, а не само число пять.

Почему подставляем именно имена, а не значения? Это очено легко понять на примере:

"$x$ — зверь"

Вместо $x$ мы можем подставить слово "медведь". Мы не ставим в выражение самого медведя! Точно так же в примере выше мы вместо переменной $x$ подставляем имя числа $5$, а не само это число. Впрочем, для краткости допустимо говорить "подставить значение переменной".

Определение

Именная форма — терм, содержащий переменные. Подстановкой значений в переменные из нее получают имена.

Почему именно "форма"? Потому что с переменными выражение еще не имеет конкретики. Это как форма для выпечки. Заполняя форму разным содержимым (подставляя значения в переменные), мы из именной формы получаем имя. Подставим другие значения, получим другое имя.

Термы — Итог#

Итак, из всего огромного множетсва выражений в математике мы выделили термы — выражения, которые не содержат знак отношения.

Мы составили индуктивное определение термов, которое позволяет точно сказать, является ли выражение термом или нет.

Наконец, мы выделили два типа термов: имена (терм без переменных), которые представляют имена объектов и именные формы (терм с переменными), из которых получают имена.

Формулы#

Теперь пришло время рассмотреть выражения, которые содержат знак отношения:

\begin{align*} 2 + 3 = 5 && x - 2 < 9 && 4 - x = y \end{align*}

Интуитивно понятно, что в таких выражениях знак отношения разделяет два терма.

Определение

1) Если $T_1$ и $T_2$ — термы, то $T_1 = T_2$ и $T_1 < T_2$ — формулы.

2) Других формулы, кроме тех, которые могут быть получены с помощью 1), нет.

Это снова индуктивное определение. Как и в случае с термами, с его помощью мы можем проанализовать любое выражение в математике и выяснить, является ли оно формулой или нет.

Пример:

$$ x - 2 < 2 + 3 $$

  1. $x$ — терм (п.1 определения термов)
  2. $2$ — терм (п.1 опр. термов)
  3. $x-2$ — терм (из 1,2 по п.2 опр. термов)
  4. $3$ — терм (п.1 опр. термов)
  5. $2+3$ — терм (из 2,4 по п.1 опр. термов)
  6. $x-2 < 2+3$ — формула (из 3,5 по п.1 опр. формул)

Теперь, как и в случае с термами, нужно рассмотреть формулы без переменных и вместе с ними.

Высказывание#

Рассмотрим формулы без переменных. Вот два примера:

\begin{align} \label{eq:true} 2 + 3 = 5 \\ \label{eq:false} 2 + 3 = 7 \end{align}

Выясним смысл первого примера. Термы $2 + 3$ и $5$ — имена одного и того же числа. Чтобы выразить этот факт, термы соединяют знаком "$=$". Другими словами, когда мы пишем $2+3 = 5$, мы утверждаем, что числа с именами "$2+3$" и "$5$" совпадают.

Но никто не мешает нам поставить знак "$=$" между именами чисел "$2+3$" и "$7$", то есть мы утверждаем, что числа с именами "$2+3$"и "$7$" — одно и то же.

Получается, что формула \eqref{eq:true} обозначает истинное (верное) высказывание, а форумла \eqref{eq:false} — ложное (неверное) высказывание.

Определение

Высказывание — формула без переменных. Может быть истинной или ложной.

Высказывательная форма#

Теперь рассмотрим формулы с переменными. Ситуация здесь точно такая же, как и с именными формами.

\begin{align*} x + 3 = 2 && x \cdot y < 28 \end{align*}

Снова представляем, что переменные — пустные места в формулах, в которые можно подставить имена чисел (или других объектов).

\begin{align*} \square + 3 = 2 && \square \cdot \bigcirc < 28 \end{align*}

Мы не можем ничего сказать о формуле, в которой есть пустые места. Поэтому такие формулы не могут быть истиными или ложными.

Но как только мы подставляем значения вместо переменных, сразу получаем выражение.

\begin{align*} 5 + 3 = 2 && 7 \cdot 3 < 28 \end{align*}

Определение

Высказывательная форма — формула с переменнными. Подстановкой значений в переменные из нее получаются высказывания.

Формулы — Итог#

Итак, формулы — выражения, которые содержат знак отношения. Мы привели индуктивное определение формул.

Формулы, как и термы, делятся на формулы без переменных (высказывания) и формулы с переменными (высказывательные формы).

Классификация выражений#

Подведем общий итог.

В языке математики из букв мы составляем слова. Но слова могут иметь или не иметь смысл. Слова, которые имеют смысл, мы называем выражениями.

Выражения можно разделать на две большие группы: выражения без знака отношения (термы) и выражения, которые его содержат (формулы).

Термы и формулы отличаются друг от друга по смыслу. Термы обозначают числа и другие объекты в математике. Формулы — утверждения о термах.

Наконец, термы и формулы делятся на две подгруппы: с переменными и без них. Если переменные есть, то мы получаем некоторую форму (именную или высказывательную), из которой подстановкой значений можно получить имена и высказывания.

Эту стену текста можно красиво и удобно изобразить в виде схемы: