Операции и отношения#
В нашем алфавите есть знаки операций: $+, \cdot $. В других разделах математики встречаются и много других знаков операций, например: $ \wedge, \vee , \sqrt{\phantom{x}}, \int $.
Помимо операций есть еще и знаки отношений: $=, <$. Они есть и в других разделах математики. Примеры: $ \parallel, \in, \sim$.
Но в чем состоит отличие операции от отношения? Почему в выражениях ниже одни знаки обозначают операции, а другие — отношения?
\begin{align*} 2 + 3 && 7 = 8 - 1 && a \in A \end{align*}
Для ответа на этот вопрос нужно дать определения операции и отношению. Определения этих терминов приводятся в теории множеств и мы до них доберемся позже.
Для дальнешего изучения математики необходимо научиться их различать. Зачем? Потому что операции и отношения — важнейшие элементы всей математики. Любой ее раздел вводит какие-то новые объекты, операции и отношения между ними, а затем изучает их свойства.
Приступим!
Операция#
Разберем самую старую и знакомую абсолютно всем операцию — сложение. Она обозначается знаком "$+$".
Вот пара примеров:
\begin{align*} 2 + 3 && x + a \end{align*}
В первом примере мы берем два числа ($2$ и $3$) и производим операцию сложения. Ее результат — число $5$. То есть мы взяли два объекта, провели операцию с ними и получили какой-то результирующий объект.
Та же ситуация со вторым примером. У нас есть "пустое место" ($x$) под какой-то объект и $a$ — какая-то постоянная. Когда мы вместо переменной подставляем число (объект), то у нас опять получается операция над двумя объектами. Результат — тоже какой-то объект.
Сложение требует два объекта для получения результата. Но есть операции, которые требуют только один объект. Например, квадратный корень:
$$ \sqrt{4} $$
Операция взятия квадратного корня требует один объект (число $4$). Результат это операции — какой-то объект (число $2$).
Итак, я думаю вы уже поняли суть любой операции:
Операция над одним или несколькими объектами — тоже объект.
Свойства операций#
Чаще всего используются операции над двумя объектами. Некоторые из них могут обладать полезными свойствами. У самых полезных свойств есть свои названия:
- Коммутативность — от перемены мест объектов результат операции не меняется.
$$ a + b = b + a $$
- Ассоциативность — расстановка скобок не влияют на результат операции.
$$ a + (b + c) = (a + b) + c $$
Как вы уже догадались, операция сложения ($+$) является и коммутативной, и ассоциативной.
Если какое-то из этих свойств не выполняется, то к нему добавляют приставку не:
- Некоммутативность
- Неассоциативность
Например, операция разности ($-$) является некоммутативной:
$$ 3 - 2 \neq 2 - 3 $$
Но она все еще ассоциативная:
$$ 3 - ( 2 - 1) = (3 - 2) - 1 $$
Упражнение
Проверьте, какими полезными свойствами обладает операция умножения.
Ответ
Проверяем на коммутативность:
$$ 2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 $$
В левой части получаем $6$. В правой тоже. Значит, операция умножения коммутативна.
Проверяем на ассоциативность:
$$ 2 \cdot (3 \cdot 4) = (2\cdot 3) \cdot 4 $$
Слева получаем $24$, справа — тоже.
Итог: операция умножения коммутативна и ассоциативна.
Дистрибутивность#
- Дистрибутивность (умножения) относительно другой операции (сложения):
$$ a \cdot (b + c) = (a\cdot b) + (a\cdot c) $$
Отношение#
Рассмотрим следующее отношение:
$$ a || b $$
Расшифровывается оно так: прямая $a$ параллельна прямой $b$. Сразу прослеживается главное отличие от операций. Отношение само по себе является некоторым высказыванием об объектах. Мы помним, что высказывание может быть истиным или ложным.