Операции и отношения#

В нашем алфавите есть знаки операций: $+, \cdot $. В других разделах математики встречаются и много других знаков операций, например: $ \wedge, \vee , \sqrt{\phantom{x}}, \int $.

Помимо операций есть еще и знаки отношений: $=, <$. Они есть и в других разделах математики. Примеры: $ \parallel, \in, \sim$.

Но в чем состоит отличие операции от отношения? Почему в выражениях ниже одни знаки обозначают операции, а другие — отношения?

\begin{align*} 2 + 3 && 7 = 8 - 1 && a \in A \end{align*}

Для ответа на этот вопрос нужно дать определения операции и отношению. Определения этих терминов приводятся в теории множеств и мы до них доберемся позже.

Для дальнешего изучения математики необходимо научиться их различать. Зачем? Потому что операции и отношения — важнейшие элементы всей математики. Любой ее раздел вводит какие-то новые объекты, операции и отношения между ними, а затем изучает их свойства.

Приступим!

Операция#

Разберем самую старую и знакомую абсолютно всем операцию — сложение. Она обозначается знаком "$+$".

Вот пара примеров:

\begin{align*} 2 + 3 && x + a \end{align*}

В первом примере мы берем два числа ($2$ и $3$) и производим операцию сложения. Ее результат — число $5$. То есть мы взяли два объекта, провели операцию с ними и получили какой-то результирующий объект.

Та же ситуация со вторым примером. У нас есть "пустое место" ($x$) под какой-то объект и $a$ — какая-то постоянная. Когда мы вместо переменной подставляем число (объект), то у нас опять получается операция над двумя объектами. Результат — тоже какой-то объект.

Сложение требует два объекта для получения результата. Но есть операции, которые требуют только один объект. Например, квадратный корень:

$$ \sqrt{4} $$

Операция взятия квадратного корня требует один объект (число $4$). Результат это операции — какой-то объект (число $2$).

Итак, я думаю вы уже поняли суть любой операции:

Операция над одним или несколькими объектами — тоже объект.

Свойства операций#

Чаще всего используются операции над двумя объектами. Некоторые из них могут обладать полезными свойствами. У самых полезных свойств есть свои названия:

  • Коммутативность — от перемены мест объектов результат операции не меняется.

$$ a + b = b + a $$

  • Ассоциативность — расстановка скобок не влияют на результат операции.

$$ a + (b + c) = (a + b) + c $$

Как вы уже догадались, операция сложения ($+$) является и коммутативной, и ассоциативной.

Если какое-то из этих свойств не выполняется, то к нему добавляют приставку не:

  • Некоммутативность
  • Неассоциативность

Например, операция разности ($-$) является некоммутативной:

$$ 3 - 2 \neq 2 - 3 $$

Но она все еще ассоциативная:

$$ 3 - ( 2 - 1) = (3 - 2) - 1 $$

Упражнение

Проверьте, какими полезными свойствами обладает операция умножения.

Ответ

Проверяем на коммутативность:

$$ 2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 $$

В левой части получаем $6$. В правой тоже. Значит, операция умножения коммутативна.

Проверяем на ассоциативность:

$$ 2 \cdot (3 \cdot 4) = (2\cdot 3) \cdot 4 $$

Слева получаем $24$, справа — тоже.

Итог: операция умножения коммутативна и ассоциативна.

Дистрибутивность#

  • Дистрибутивность (умножения) относительно другой операции (сложения):

$$ a \cdot (b + c) = (a\cdot b) + (a\cdot c) $$

Отношение#

Рассмотрим следующее отношение:

$$ a || b $$

Расшифровывается оно так: прямая $a$ параллельна прямой $b$. Сразу прослеживается главное отличие от операций. Отношение само по себе является некоторым высказыванием об объектах. Мы помним, что высказывание может быть истиным или ложным.

Свойства отношений#